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A quien interese. Tocho matemático sobre opciones...

Lo que voy a escribir a continuación, no está, por el momento, en ningún libro, al menos en ningún libro que yo conozca. Lo que voy a mostrar, es un coñazo matemático tremendo, resumido y extraído de artículos leídos aquí y allí, y de conclusiones sacadas de componer y sintetizar esas lecturas.

Para poder establecer el precio de una opción, se usa la fórmula de Black & Scholes. Es una fórmula compleja, cuyos datos de entrada son:

Precio subyacente.
Tiempo a vencimiento.
Interés.
Volatilidad.
Dividendos.

Todos estos datos, excepto uno, son muy fáciles de averiguar. El que no es tan fácil, es la volatilidad.

La volatilidad es la desviación típica del subyacente. Dada una serie de datos, finita, la volatilidad de esa serie, es la desviación típica de esa serie. Y la desviación típica de una serie, es la raíz cuadrada de la varianza de esa serie.

Para calcular la varianza de una serie, se haya la media aritmética de esa serie. A cada elemento de la serie, se le resta la media hayada, y al resultado se lo eleva al cuadrado. Se suman todos los cuadrados hayados de esa forma, y el resultado de esa suma, se divide entre el número de elementos de la serie. La raíz cuadrada de ese resultado, es la desviación típica, o sea, la volatilidad.

Para verlo más claro. Supongamos que queremos saber la volatilidad de un índice cuando faltan 3 días para vencimiento. Los máximos y mínimos de los últimos 3 días han sido los siguientes (se toman solo máximos y mínimos por simplificar, en realidad deberían tomarse todos los ticks, aunque el resultado no debería variar mucho):

Día 1: Máximo 12852. Mínimo 12538
Día 2: Máximo 12992. Mínimo 12839
Día 3: Máximo 13049. Mínimo 12728

Nuestra serie, es, por tanto, 12852, 12538, 12992, 12839, 13049, 12728. 6 elementos.

La media es: 12833.

Diferencias a la media.

19, -295, 159, 6, 216, -105.

Cuadrados:

361, 87025, 25281, 36, 46656, 11025

Suma de cuadrados:

170384

Dividido por número de muestras:

28397,33

Raíz cuadrada:

168,51

Esto nos daría la volatilidad diaria. Ahora hay que anualizarla, multiplicando por la raíz cuadrada de los días del año (250).

Raíz de 250= 15,81

Volatilidad (en puntos): 168,51*15,81 = 2664,5 puntos.

La cotización media era 12833. La volatilidad es, en porcentaje:

2664,5 * 100/ 12833 = 20,76 %

Ahora ya podemos sustituir en la fórmula de Black & Scholes.

Pero esto es muy complicado, y difícilmente podemos sacar partido. La gracia de esto, es que los creadores de mercado tienen programas que calculan en tiempo real todo esto, y que colocan en tiempo real el precio de las opciones. Algunos brokers, dan, a partir de esos precios ofrecidos por el creador, la volatilidad que se está negociando. Si nos están dando la volatilidad (desviación típica), solo tenemos que hacer el proceso inverso para calcular qué precios del subyacente se van a encontrar a distancias determinadas en múltiplos de desviación típica en puntos. Con esos datos, y conociendo las probabilidades de que el subyacente se encuentre a determinada distancia en desviaciones típicas en la fecha concreta, tenemos una información valiosísima para sacarle partido.

Si has llegado hasta aquí sin dormirte, enhorabuena. :-)